实数

说明

我们的目的是给出实数的公理化定义。也可以理解为学习实数的各种性质。

关于集合论的基础知识，比如笛卡尔积，关系，以及映射等，可以自行Google，我们在此不提。

实数的性质（公理化定义）

有序集

若 $S$ 是一个集合，如果它上面具有一种关系，记作 <，满足：

(i) 任意 $x \in S, y \in S$ ，以下三种情况有且只有一种成立：

x < y, x = y, y < x

(ii) 对于 $x, y, z \in S$ ，如果 $x < y, y < z$ ，则 $x < z$ .

那么我们叫关系 < 为 $S$ 上的一个序关系，称 $S$ 为一个有序集。

上界，下界

如果 $S$ 是一个有序集， $E$ 是 $S$ 的一个非空子集，假设 $b \in S$ ，如果对于任意 $a \in E$ ，都有 $a \leq b$ ，则称 $b$ 是 $E$ 的一个上界。称 $E$ 在 $S$ 中有上界。

类似地可以定义下界。

上确界，下确界

如果 $S$ 是一个有序集， $E$ 是 $S$ 的一个非空有上界的子集，如果 $b \in S$ 是 $E$ 的一个上界，且满足：任意 $x \in S$ ，若 $x < b$ ，则 $x$ 不是 $E$ 的上界。那么就说 $b$ 是 $E$ 的上确界。记作 $b = sup E$ 。

那么是不是对于任意的有序集，对于任意的非空有上界的子集，都存在上确界呢？

我们注意到有理数集 $Q$ 和它上面的序关系 $<_{Q}$ 构成了一个有序集，我们考虑这样一个集合

E = {x \in Q ∣ x > 0 且 x^{2} < 2}

这个集合是非空有上界的。

如果它存在一个上确界 $b = sup E$ ，它应该要满足 $b^{2} = 2$ 。我们可以导出矛盾，不存在这样的 $b \in Q$ 。

Proof

我们说明 $b^{2} < 2$ 和 $b^{2} > 2$ 都不可能是上确界。

若 $b^{2} < 2$ ，我们总能构造出一个比 $b$ 更大的 $a \in Q$ 是在 $E$ 中的，这就和 $b$ 是上界矛盾了。
因为我们希望 $a > b$ ，不妨设 $a = b + ϵ, ϵ > 0 \in Q$ ，通过控制 $ϵ$ 的范围（我们当然希望它越来越小），让 $a$ 不超出 $E$ 的范围，我们先假设 $ϵ < b$ ，则有

a^{2} = (b + ϵ)^{2} = b^{2} + 2 ϵ b + ϵ^{2} < b^{2} + 3 ϵ b

只需要

b^{2} + 3 ϵ b < 2

取满足 $ϵ < \frac{2 - b^{2}}{3 b}$ 的 $ϵ \in Q$ 即可。

类似地我们可以说明 $b^{2} > 2$ 的情况不是上确界。所以如果 $Q$ 中存在 $E$ 的上确界 $b$ ，那么它满足 $b^{2} = 2$ 。
我们设 $b = p / q$ 是既约分数（ $(p, q) = 1$ ），则我们有

p^{2} = 2 q^{2}

故有 $2 ∣ p$ ，故 $4 ∣ p^{2}$ ，故 $q^{2} = p^{2} / 2$ 满足 $2 ∣ q$ ，矛盾。

对于有序集 $S$ ，我们称这样的性质，即在每个非空有上界的子集都存在上确界，为最小上界性，显然不是每个有序集都具有这个性质。类似地，我们还有最大下界性。

如果有序集 $S$ 具有最小上界性，那么对于它的任一非空且有下界的子集 $E$ ，考虑它所有下界组成的集合

F = {b \in S ∣ b 是 E 的 下 界}

这是一个有上界且非空的集合，我们取它在 $S$ 中的上确界 $b$ （一定存在），可以验证 $b$ 也是 $E$ 的下确界。

综上，最小上界性和最大下界性是可以互推的。

域

设 $F$ 是一个集合，并且它配有两个运算，记作 $+, \cdot$ ，如果这两种运算满足以下一些性质，我们就说 $F$ 是一个域：
(A)
(a1) $\forall x, y \in F, x + y = y + x$ ;
(a2) $\forall x, y, z \in F, (x + y) + z = x + (y + z)$ ;
(a3) $\exists 0 \in F, \forall x \in F, 0 + x = x + 0 = x$ ;
(a4) $\forall x \in F, \exists y \in F, x + y = y + x = 0$ .

(M)
(m1) $\forall x, y \in F, x y = y x$ ;
(m2) $\forall x, y, z \in F, (x y) z = x (y z)$ ;
(m3) $\exists 1 \in F, 1 \neq 0, \forall x \in F, 1 \cdot x = x \cdot 1 = x$ ;
(m4) $\forall x \neq 0 \in F, \exists y \in F, x y = y x = 1$ .

(D) $\forall x, y, z \in F, x (y + z) = x y + x z$ .

我们可以证明满足(a3)，(m3)的元素都是唯一的，我们分别称为加法，乘法下的单位元。
对于每个符合条件的 $x \in F$ ，满足 (a4)，(m4)的元素 $y$ 也是唯一的，分别称为 $x$ 在加法，乘法下的逆元，记作 $(- x), 1 / x$ 。
我们还可以引入一些记号，比如 $-, \frac{x}{y}, x^{n}$ 之类的，在这里不详细说明。

由 (A)，(M)，(D) 我们可以推出一些我们“熟知”的结论。
比如 $x + y = x + z$ ，则

\begin{aligned} y & = 0 + y = ((- x) + x) + y \\ = (- x) + (x + y) = (- x) + (x + z) \\ = ((- x) + x) + z = 0 + z \\ = z \end{aligned}

也就是消去律。

其它的结论可以看《数学分析原理》，有详细的推导，在这里我们不列举了。

有序域

设 $F$ 是一个有序集，同时是一个域， $<$ 是它上面的序关系， $+, \cdot$ 是它的加法和乘法，如果它们满足：
(i) 对于任意 $x \in F$ 与 $y < z$ ，都有 $x + y < x + z$ ;
(ii) 对于任意 $x > 0, y > 0$ ，都有 $x y > 0$ .
那么就称 $F$ 是一个有序域。

我们也可以得到很多推论。

比如对于 $a, b, c, d \in F$ ，如果 $a > b, c > d$ ，那么有 $a + c > b + c > b + d$ 。

再比如对于 $x > 0$ ，若 $(- x) \geq 0$ ，那么 $0 = x + (- x) \geq x + 0 > 0 + 0 = 0$ ，产生矛盾，所以 $(- x) < 0$ 。

实数

实数集 $R$ 是一个有序域，且具有最小上界性，有理数集 $Q$ 是它的子集。

存在性（ $R$ 的定义）可以由戴德金分割给出，具体步骤见《数学分析原理》。

我们可能会在后面说明实数的唯一性。在这之前我们要说明实数的一些重要性质。

阿基米德性

设 $x > 0 \in R$ ， $y \in R$ ，则存在整数 $n$ ，使得 $n x > y$ 。

使用反证法。

Proof

假设对于任意整数 $n$ ，都有 $n x \leq y$ ，则 $y$ 是集合 $E = n x$ 的一个上界。由 $R$ 的最小上界性， $b = sup E$ 存在。

因为 $b - x < b$ 不是 $E$ 的上界，所以存在 $m x \in E > b - x$ ，所以有 $(m + 1) x > b$ ，这产生了矛盾。

根据阿基米德性我们可以知道有理数在实数集中是“稠密”的，即对于任意 $x < y$ ，都存在 $q \in Q$ 使得 $x < q < y$ 。我们只证明 $x > 0$ 的情况。

Proof

要得到这样的 $q$ ，我们先设 $q = m / n$ 是分数形式，则 $x < m / n < y$ 等价于 $n x < m < n y$ ，这其实是说 $n x, n y$ 中间要放得下一个整数 $m$ ，所以这等价于 $n y - n x > 1$ 即 $n (y - x) > 1$ 。
我们知道 $y - x > 0$ ，根据阿基米德性存在这样的整数 $n$ 。

回过头来我们取任何一个集合 $T$ ，它是一个有序域，且有着最小上界性（确界原理）。我们看一下它具备怎样的结构。

首先在任何有序域中，我们可以根据定义中那几条性质（公理）出发，得到 $1 = 1^{2} > 0$ 。所以规定 $n = 1 + 1 + . . . + 1$ (一共有自然数 $n$ 个)，我们有 $(n + 1) = n + 1 > n$ ，所以集合 ${n \in T}$ 是无限集（以上的 n 还有 1 都是指 T 中的元素），更准确的说它和自然数集是同构的。
更进一步我们通过做“除法”（乘法）可以得到集合 ${\frac{m}{n} \in T}$ ，这和我们的有理数集也是同构的，我们就叫它 $Q_{T}$ 吧。

同构的意思就是存在双射使这两个集合一一对应，并且这个一一对应保持了集合上面的序结构和运算结果。细节我们可以先不用管，大概意思知道就行了。

这一小节中的证明是可以迁移到 $T$ 上的，所以 $Q_{T}$ 也在 $T$ 中是稠密的，等我们学了后面的“极限”的概念，我们就可以用 $Q$ 中的序列来逼近 $R$ 中元素 $r$ ，同理用 $Q_{T}$ 中对应的序列去逼近 $T$ 中元素 $t$ ，这样就把 $r, t$ 对应起来了。我们就能说明 $R$ 和 $T$ 也是同构的。

这可以看成是度量空间的完备化。

一些运算的定义

我们之前举了一个例子

E = {x \in Q ∣ x > 0 且 x^{2} < 2}

说明了 $Q$ 上没有确界原理。

我们知道这个集合在实数集的上确界是“根号二”，但是我们没有定义根号这个运算（我们有次方运算，这只需要用乘法归纳定义），我们不是靠“开平方”算出来了“根号二”这个数（这个数我们不知道是什么东西，我们不知道存不存在一个数的平方结果是2），我们是根据确界原理说明了 $E$ 的上确界存在（在 $R$ 上）。

所以我们是用确界原理来定义根号，指数函数这些运算，不要搞反了。

n 次方根

对于 $x \in R > 0$ 和正整数 $n$ ，定义

x^{\frac{1}{n}} = sup {a \in R_{> 0} ∣ a^{n} < x}

我们发现 $x^{\frac{1}{n}}$ （简记作 $y$ ）满足 $y^{n} = x$ 。

我们知道这个 $y$ 是存在的：因为 $(x + 1)^{n} > (x + 1) > x$ ，所以 $E = {a \in R_{> 0} ∣ a^{n} < x}$ 有上界。
又如果 $x > 1$ ，那么 $1^{n} < x$ ，所以 $1 \in E$ ；如果 $x < 1$ ，那么 $x^{n} < x$ ，所以 $x \in E$ 。所以 $E$ 是非空的。综上根据确界原理 $y$ 存在。

我们可以用前文类似的方法说明 $y^{n} = x$ ：假设 $y^{n} < x$ ，我们希望找到一个 $b > y$ 且 $b \in E$ ，这样就引出矛盾。同样我们设 $b = y + a, a > 0$ ，有

b^{n} = (y + a)^{n} = \sum_{0 \leq k \leq n} C_{n}^{k} a^{k} y^{n - k}

我们同样让 $a < y$ ，就有

\sum_{0 \leq k \leq n} C_{n}^{k} a^{k} y^{n - k} < y^{n} + a (\sum_{1 \leq k \leq n} C_{n}^{k} y^{n - 1})

所以只需要

y^{n} + a (\sum_{1 \leq k \leq n} C_{n}^{k} y^{n - 1}) < x

也就是

a < \frac{x - y^{n}}{\sum_{1 \leq k \leq n} C_{n}^{k} y^{n - 1}}

我们知道小于号右边的式子是大于0的，所以总能找到这样的正数 $a$ ，令 $b = y + a$ 即为所求。

$y^{n} > x$ 的情形也是类似的。

我们怎么定义指数函数？并验证这些运算该有的性质，比如

(x y)^{\frac{1}{n}} = (x)^{\frac{1}{n}} (y)^{\frac{1}{n}}

。

更多内容，如复数，欧氏空间等，见《数学分析原理》。

下一篇
可数集